邮发代码:82-418   刊号:ISSN1671-4350   定价:16.00

[八九点钟]携手欧拉与拉格朗日抗击混沌

张瑞琦/上海市控江中学

2022-07/总第316期

阅读数3

刚刚进入高中的我,对科学的理解,是利用已有的科学与技术,对旧的知识提出新的看法,发现新的规律或机理,促成新的技术生产力。英才计划,向一群和我一样对自然科学充满向往与好奇的青少年打开了科学的大门。


奇妙的缘分

最初,被磁流体可爱的小触角(磁丘)吸引的我,想利用它实现某些药物的运输,或在严苛条件下让其代替人手完成工作,但由于它太过“柔软”,承载力有限,限制了这一想法的实现。

后来,奇妙的缘分让我见识到了小圆环在半球形碗中的滚动,出乎意料的是,它的运动异常活泼,甚至可以称得上是“妖娆”,它在碗里欢快地似跳舞一般扭来扭去,跌倒了还会爬起来,非常顽强。圆,存在于我们周围世界的各个角落,小到充满童趣的滚铁环,大到行星公转轨道,整个宇宙到处都有它的形迹,见惯了圆在平面上运动的我,怀着满满的好奇,尝试用科学的眼光探索圆的奥秘。因此,在沈健老师、殷立峰老师和团队的指导下,我开展了关于“刚性圆环在球面上的运动行为”的研究课题。当1个圆环被丢入碗中时,它会呈现非常独特、活泼的运动模式,并且当初始条件稍作改变,它的运动模式会有极大的不同,类似混沌现象。


携手欧拉与拉格朗日抗击混沌

之所以将研究过程称为“抗击”,自然是因为这其中的百般困难,如何描述圆环的运动便是第1个难题。经过大量的预实验,我终于发现了其中的门道:每次运动都是多阶段的,当特定的初始条件改变,它会呈现出另一种运动行为,可以选择它的特性为其运动行为命名。将运动描述清楚后,如何分析这个系统又让我犯了难,关于圆环运动的文献并不多,在了解到完全自由的圆环具有6个自由度后,结合实际背景——圆环在球面上滚动,我将它简化为拥有5个自由度。描述转动自由度的选择过程是曲折的——投影角不方便建立关系式、完全对应的坐标轴夹角又不能将圆环的运动描述完整……终于,欧拉角的出现让这个问题迎刃而解。平动自由度的描述相对简单了许多,只需自己建立主坐标系,并建立质心坐标与接触点坐标的关系式。选择拉格朗日力学对不稳定系统进行分析,由于计算量过于庞大,因此利用Mathematica编写程序进行数值求解,并通过绘制参数图等呈现计算结果。

如何将理论与实验结合呢?既然可以绘制出模拟轨迹,不如将真实轨迹追踪出来对比一下,于是,我将每个运动行为应有的自由度初值代入得到模拟轨迹,再用Tracker追踪得到真实轨迹,对比发现二者高度相符。同时,计算得到的圆环自由度随时间的变化关系与慢速的实验视频中观察到的自由度随时间的变化趋势相一致。

当然,上述结果只能在短时间内进行考虑分析,若要考察完整运动,必须引入摩擦力分析,因其对系统的不稳定性起着重要作用。但是,要将摩擦力描述进拉格朗日量中,并不太现实,因为摩擦力是不断变化的,静摩擦、滑动摩擦、滚动摩擦在这个系统中都会出现。在与导师探讨交流后,最终选择利用工程软件模拟对其进行深入探索。


张瑞琦

2021级英才计划物理学科学员

就读于上海市控江中学,师从复旦大学沈健教授和殷立峰教授。培养期间,完成课题“刚性圆环在球面上的运动行为研究”,此课题入选2022年中国科协青少年国际科技交流项目冬令营。利用课余时间,完成课题“关于竹蜻蜓起飞条件和飞行最大高度相关因素的研究”;作为队长与校队成员一起参加上海市第六届物理学术竞赛,获得二等奖;曾参加高校科学营复旦分营和第四届世界顶尖科学家论坛。


青辅协会员专属文章,

以下平台可使用同一账号密码登录,点击开始同步密码

确认