邮发代码:82-418   刊号:ISSN1671-4350   定价:16.00

[匠心育人]刘来福:激发中学生在数学方面的创造性火花

文_赵 玲

2021-11/总第308期

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刘来福,北京师范大学数学系教授、博士生导师,英才计划导师。从事生物数学与应用数学研究,在教学工作上于1997年、2001年和2005年分别获得北京市优秀教学成果二等奖。讲授的课程“数学模型”于2004年被评为北京市精品课程。在国内外发表研究论文100余篇,曾承担国家自然科学基金项目4项,教育部高等院校面向21世纪教学内容和课程体系改革计划课题2项。

数学,大家都不陌生,下至小学生在九九乘法表和加减乘除中琢磨,上至研究生在微积分、线性代数等难题中挣扎。但是有多少人能真正脱离课本、习题,在实际生活中运用数学知识解决问题呢?

对于在应用数学领域教了几十年课的刘来福来说,应用数学其实是和其他学科的结合,数学建模最需具备的能力,便是在生活中发掘数学因素。会做数学题并不意味着能解决问题,只有转变自己的观念,在生活中发现问题,并且将数学知识应用起来,才算学好了数学。而想让学生具有这样的思维,绝不能等到大学,必须从中学生开始培养,英才计划正是这样的培养计划。


发现问题的能力要从中学培养

退休之前,刘来福是北京师范大学数学系教授,较早在国内开设了数学建模课程。课程开设的第1年,他遇到了1个意想不到的难题。

这门课教的是怎么用数学解决实际问题。因此,他给学生布置的期末考试题目是让他们选择一个身边的实际问题,再用数学知识解决。没想到,半个月后,超过三分之一的学生称找不到问题。当时,刘来福很吃惊——北京师范大学数学系学生的水平是相当不错的,居然连“发现问题”都做不到!

“因为这些学生在小学、中学养成了一个固定习惯——学数学就是做习题、做难题,模式是别人出题自己做,以至于很少有人想到主动用数学解决生活中的问题。”刘来福意识到,问题不全出在大学,而应该追溯到中学。

1995年起,刘来福在实验中学理科实验班和其他几所中学,给学生讲授数学建模的知识,引导中学生将自己的数学知识用到实际问题中去。

在这期间,他接触到许多中学生的奇思妙想,意识到中学生尚未被固化的创新思维是在教师甚至大学生身上都鲜有的特质。他举例说,“当时给中学生授课,其中有一个北京四中的学生对足球很感兴趣,他发现足球的表面由12块正五边形皮子和20块正六边形皮子组成,就很好奇是不是只有这样的组合才能拼成足球。于是他就使用立体几何的知识,研究多面体的特性,最后将自己的发现写成了文章《只有一种“足球”的证明》,用数学方法证明了‘足球’确实只有这一种组成方式。”

刘来福认为这是一个很漂亮的研究,虽然整篇文章没有用到什么高深的数学知识,但这种从司空见惯的事物中发现意想不到的选题的能力,正是中学生最宝贵的亮点。这也更加坚定了他在退休后教导中学生的念头——中学生还可以“异想天开”,这些创造性的火花既宝贵又脆弱,可能一闪而过,稍不注意就会泯灭,必须要对他们加以引导,启发他们的创新性思维。


应用数学必须要考虑现实情况

2016年,刘来福接到一个电话,邀请他加入英才计划。尽管当时手上已经有北京青少年科技俱乐部、北京市青少年科技后备人才早期培养计划、北京青少年科技创新学院“翱翔计划”等工作,但凭借着对中学生教育的热忱,他毅然接受了邀请,带了2名学生,其中一位在2017年获得了北京青少年科技创新市长奖。

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王维曦与导师刘来福合影


这名学生叫王维曦,他凭借《基于仿真实验的火锅餐厅排队问题研究》于2017年摘得北京市青少年科技创新“市长奖”,而其选题灵感竟来源于他在火锅餐厅的排队经历。

当时,王维曦已经被刘来福否了多个选题,最后刘来福告诉他,你不要想着用微分方程或者高阶导数这些高等数学知识,就从身边找问题。最后王维曦选择了海底捞排队问题,终于得到了刘来福的认可。

王维曦通过实地观测与调查,发现餐厅是凭借团队经验管理排队,而排队的核心问题在于大小桌叫号速度差别大、等候时间长,这样就造成顾客流失。于是,他以压缩排队等位时间、优化排队管理为着手点开展研究,使用数学上排队论的结论寻求最大限度满足顾客用餐需求和餐厅盈利愿望的双赢方案,而论文则着眼于用数学建模方式解决管理难题。

当刘来福看到第一版文章时,就发现这个学生的数学知识很扎实,但忽略了现实情况。“这个排列论的公式只适用于当时间趋于无穷大的时候,队可能会排多长,平均等待时间是多久。但你代入现实情况考虑一下?火锅店不可能1天24小时都在排队,事实上中午排队最多排到下午2:00,再然后就没人排队了,因为感觉排不上的人早就走了,不会无限期地等下去。”刘来福指出了问题所在。

之后,王维曦又通过采访店家、现场蹲点等方式,利用课余时间到餐厅统计餐桌数量、服务时间、到达频率与用餐时间等数据,采用拟合优度分析法、蒙特卡洛仿真实验、多元线性回归分析、非线性规划等得到研究成果,对于试图破解排队难题的餐厅具有很好的借鉴意义。

“有人说学数学就要会套公式,要我说,还得根据实际情况考虑公式应用的前提,因为复杂的现实不是一句‘理论上’能概括的。”刘来福总结道。


选题永远是最难也是最重要的

从教多年,刘来福不断对中学生如何在数学领域从事科学探索进行摸索和总结,逐渐形成了自己的看法和理念。在他看来,做科研最应该培养的能力便是创新,发现问题永远是最重要的。他在指导英才计划学生时,也始终坚持把选题放在第一位。

在这方面,2019年英才计划北京八中少年班的蒋子悦同学让他印象最深刻。

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指导蒋子悦学习


初见这个学生,刘来福就像往常一样直言告诉她:“应用数学领域研究最艰难的一步便是选题。”他半点没有夸大,当时正值2020年上半年,由于新冠肺炎疫情的影响,师生两人很难见面,多是通过远程交流。这期间蒋子悦陆续提出了一些课题,但都因为没有数据或者范围太大而被否定,只有最后一个选题得到了肯定——莫奈印象派名作《干草堆》的数学分析。

刘来福认为这是个优质的选题——既有灵气和创新性,又有操作的可能性。具体来说,蒋子悦想把莫奈画中的色彩建立一个数学模型,来模拟画家的创作思路。《干草堆》是莫奈从不同角度、不同季节、不同环境,对同样的干草堆进行创作而形成的一系列画作。

摆在师生面前的第一个难题,就是获得《干草堆》的数据,把这系列名画变成数字。在刘来福的鼓励下,蒋子悦从零开始自学编程,将书本和网络相结合,查询了各种不同的函数和语句,最终用Python编写出了将图片转换为数字矩阵的程序。她要运用RGB色彩模型(色光三原色)数字化色彩。刘来福解释道:“我们把一幅画看作是数以千万计的原点,利用程序记录每个原点中红绿蓝三原色的比例。”

记录数据后,该怎么开展研究呢?由于刘来福对油画不太了解,他特地为蒋子悦请了一位研究图像处理的教师。这位指导教师使用了对《干草堆》分层表达光的通路的HIS模型,用数学模型将RGB数据转换为HIS数据将蒋子悦引上正轨。

最终,通过建立数学模型,对手中几十万数据进行分析,蒋子悦得出结论:《干草堆》的色调比较单一,系列画作最大的区别就在亮度上,而光线的变化正是印象派的一大特征。

对于一个十四五岁的青少年来说,构建模型处理如此庞大的数据量,不是一件简单的事。而刘来福最欣赏的,还是蒋子悦敏锐的洞察力和创新能力,“她自己观察到《干草堆》中有数学问题,而不是教师给她布置的,这是最让我惊喜的。”

从2016年至今,刘来福每年在英才计划带2〜3名学生,几乎每个学生的选题都经过了一番痛苦的酝酿,才最终得出灵感。很多学生找选题的过程非常痛苦,“灵感有时候是逼得没辙的时候才出来”。刘来福表示,“我一直坚持不给现成的题目,逼着他们想问题。自主地‘发现问题’就像一个痛苦的孕育过程,虽然过程很艰苦,但真的找到选题之后,灵感会像火山喷发一样,挡都挡不住。”

刘来福想得很远,他认为这对中学生是一个非常宝贵的磨炼过程。“或许我们从小受的教育让我们不擅长自己提出问题,但这个能力是可以启发、磨炼出来的。学生一旦开了窍,就像打通了任督二脉,以后如果要从事科研工作,也会拥有比别人更强的创新力。”


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